题目内容
17．设{an}是公差为-1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知bn=4${\;}^{{a}_{n}}$，求{bn}的前n项和Tn．
分析 （1）由S1，S2，S4成等比数列，可得${S}_{2}^{2}={S}_{1}{S}_{4}$，再利用等差数列的前n项和公式可得$（2{a}_{1}-1）^{2}$=a1（4a1-6），解出即可得出；
（2）bn=4${\;}^{{a}_{n}}$=21-2n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
解答 解：（1）∵S1，S2，S4成等比数列，
∴${S}_{2}^{2}={S}_{1}{S}_{4}$，
∴$（2{a}_{1}-1）^{2}$=a1（4a1-6），
化为a1=-$\frac{1}{2}$．
∴an=-$\frac{1}{2}$-（n-1）=$\frac{1}{2}$-n．
（2）bn=4${\;}^{{a}_{n}}$=21-2n，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{1-2（n+1）}}{{2}^{1-2n}}$=$\frac{1}{4}$，b1=$\frac{1}{2}$．
∴数列{bn}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{4}$．
∴{bn}的前n项和Tn=$\frac{\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3}$$（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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