题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中， 
分别是棱
的中点，点
在
棱上，且
， 
， 
.
（1）求证： 
平面
；
（2）当
时，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）由线面平行的判定定理证明；（2）利用空间直角坐标系解题。
试题解析：
解：（1）(法一)连接
交
于点
，连接
由
分别是棱
中点，故点
为
的重心
在
中，有
，又
平面
平面
（法二）取
的中点
，连接
由
是棱
的中点， 
为
的中点，
为
的中位线，即
平面
又
为棱
的中点， 
为
的中点
由
，由
，且
为直三棱柱
，进而得
，即
平面
又
平面
平面
又
平面
平面
（2）由
为直三棱柱
平面
，取
的中点
，连接
是棱
的中点， 
，即
平面
为等边三角形
为
的中点
且
故以为坐标原点，以射线
分别为
轴， 
轴， 
轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系
则
， 
， 
设平面
的法向量为
则： 
，不妨取
，则
设平面
的法向量为
则： 
，不妨取
，则
记二面角
为
故二面角
的余弦值为
．
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