Question

如图，F₁，F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF₁|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  1

  2

• C、

  3

  -1
• D、

  2

  2

Answer 1

分析：连结AF₁，根据圆的直径的性质和等边三角形的性质，证出△F₁AF₂是含有30°角的直角三角形，由此得到|F₁A|=c且|F₂A|=

3

c．再利用椭圆的定义，得到2a=|F₁A|+|F₂A|=（1+

3

）c，即可算出该椭圆的离心率．

解答：解：连结AF₁，
∵F₁F₂是圆O的直径，∴∠F₁AF₂=90°，即F₁A⊥AF₂，
又∵△F₂AB是等边三角形，F₁F₂⊥AB，
∴∠AF₁F₂=

1

2

∠AF₂B=30°，
因此，在Rt△F₁AF₂中，|F₁F₂|=2c，|F₁A|=

1

2

|F₁F₂|=c，|F₂A|=

3

2

|F₁F₂|=

3

c．
根据椭圆的定义，得2a=|F₁A|+|F₂A|=（1+

3

）c，解得a=

1+ 3

2

c，
∴椭圆的离心率为e=

c

a

=

3

-1．
故选C．

点评：本题考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，考查学生的计算能力，证出△F₁AF₂是含有30°角的直角三角形是关键．