Question

P是△ABC所在平面α外一点,O是点P在平面α内的射影.

(1)若P点到△ABC的三个顶点等距离,那么O点是△ABC的什么心?

(2)若P点到△ABC的三边距离相等,且O点在△ABC的内部,那么O点是△ABC的什么心?

Answer 1

解析:(1)O点是△ABC的外心,如下图所示.

∵O是P点在α内的射影,

连结OA、OB、OC,则OA、OB、OC分别为PA、PB、PC在α内的射影.

又PA=PB=PC,

知OA=OB=OC,故O点是△ABC的外心.

(2)O点是△ABC的内心.如下图所示.

作OF⊥AC于F,OE⊥BC于E,OD⊥AB于D,

连结PF、PE、PD.

又PO⊥α于O,由三垂线定理,知

PF⊥AC于F,PE⊥BC于E,PD⊥AB于D.

故PF、PE、PD的长分别是P点到AC、BC、AB的距离,

则PF=PE=PD,从而OF=OE=OD,O点为△ABC的内心.