Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x+ax²，x∈[0，+∞），a∈R

(1)当a= 1 2 时，求证：在[0，+∞)上f(x)≥0， (2)若不等式f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

．

Answer 1

分析：（1）把a=

1

2

代入已知式子，求导数可得函数单调增，进而可得f（x）≥f（0）=0；
（2）求导数可得f′（x）=

2ax2+(2a-1)x

1+x

，分

2a≥0 2a-1≥0

，

2a＜0 2a-1＜0

，

2a＞0 2a-1＜0

三种情况讨论即可．

解答：解：（1）当a=

1

2

时，f（x）=ln（1+x）-x+

1

2

x²，
∴f′（x）=

1

1+x

-1+x=

x2

1+x

≥0在x∈[0，+∞）恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=0，
故当x∈[0，+∞）时，f（x）≥0；
（2）∵f′（x）=

1

1+x

-1+2ax=

2ax2+(2a-1)x

1+x

，
①当

2a≥0 2a-1≥0

，即a≥

1

2

时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）≥f（0）=0；
②当

2a＜0 2a-1＜0

，即a＜0时，f′（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）≤f（0）=0与题意不符；
③当

2a＞0 2a-1＜0

，即0＜a＜

1

2

时，f′（x）=

2ax2+(2a-1)x

1+x

=

2ax(x- 1-2a 2a )

1+x

，
故在[0，

1-2a

2a

）上，f′（x）≤0，
∴f（x）≤f（0）=0与题意不符，
综上可得当且仅当a≥

1

2

时，f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．

点评：本题考查函数的单调性和导数的关系，以及恒成立问题，属中档题．