题目内容

在△ABC中，

，若O为△ABC的垂心，则

的值为．

【答案】分析：作出边AC的垂线，利用余弦定理求出cosA的值，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．
解答：解：∵O为△ABC的垂心，过O作OD⊥AC于D，
则cosA=

，
AD=ABcosA=

，
∴

=

=AC•AD=3×

．
故答案为：

．
点评：此题是个中档题．本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义以及三角形的五心，以及学生分析解决问题的能力．

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如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点 ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．

第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．

第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………① 在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD

∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．

（3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

在△ABC中， $数学公式$ ，若O为△ABC的垂心，则 $数学公式$ 的值为________．

在△ABC中，

，若O为△ABC的垂心，则

在△ABC中，，若O为△ABC的垂心，则的值为　　　　.