Question

【题目】已知，，动点满足.设动点的轨迹为.

（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）求动点与定点连线的斜率的最小值；

（3）设直线交轨迹于两点，是否存在以线段为直径的圆经过？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）动点M的轨迹方程为，轨迹是以为圆心，2为半径的圆；

（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由，化简可得：，即轨迹是以为圆心，2为半经的圆；(2)设过点的直线为，利用圆心到直线的距离不大于半径即可解得的取值范围，从而得出动点与定点连线的斜率的最小值；（3）假设存在以线段为直径的圆经过，联立方程，得，再利用，求出的的值，验证是否成立即可.

（1），化简可得：，

所以动点M的轨迹方程为.

轨迹是以为圆心，2为半径的圆.

（2）设过点的直线为，圆心到直线的距离为.

∴，即.

（3）假设存在，联立方程得，得，

即.

设，则，，

由题意知，

∴.

∴，得，且满足，

∴存在以线段PQ为直径的圆经过A，此时.