题目内容
烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为k）．若C是AB连线上的点，设AC=x km，C点的烟尘浓度记为y．
（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．
（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．
（Ⅰ）不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由AC=x，（0＜x＜20），可得BC=20-x；…（3分）
依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：y=
+
，（0＜x＜20）…（6分）
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数表达式求导得y′=-
+
=
；…（9分）
令y'=0，得（3x-20）•（3x2+400）=0；
又0＜x＜20，∴x=
．…（12分）
∵当x∈(0 ，
)时，y'＜0；当x∈(
， 20)时，y'＞0，
∴当x=
时，y取最小值．
故存在点C，当AC=
km时，该点的烟尘浓度最低．…（14分）
依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：y=
| k |
| x2 |
| k•8 |
| (20-x)2 |
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数表达式求导得y′=-
| 2k |
| x3 |
| 16k |
| (20-x)3 |
| 2k(9x3-60x2+1200x-8000) |
| x3(20-x)3 |
令y'=0，得（3x-20）•（3x2+400）=0；
又0＜x＜20，∴x=
| 20 |
| 3 |
∵当x∈(0 ，
| 20 |
| 3 |
| 20 |
| 3 |
∴当x=
| 20 |
| 3 |
故存在点C，当AC=
| 20 |
| 3 |
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（2007•湛江二模）烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为k）．若C是AB连线上的点，设AC=x km，C点的烟尘浓度记为y．