研究方程e-x＝log2x根的个数．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

研究方程e^－x＝log₂x根的个数．

答案：
解析：

　　我们可以令f(x)＝e^－x，g(x)＝log₂x，可知方程f(x)＝g(x)的实根个数即函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的公共点个数．此两种函数均为基本初等函数，图象可以容易地做出．如图．

　　由图可知，两函数图象一增一减，有且只有一个公共点，也就是说原方程有且只有一个实数解．

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已知函数f(x)＝|log₂|x－1||，且关于x的方程[f(x)]²＋af(x)＋b＝0有6个不同的实数解，若最小实数解为–3，则a＋b的值为

－3

－2

不能确定

记f(x)＝log₂(x－1)的反函数为y＝f^－1(x)，则方程f^－1(x)＝9的解x＝________．

已知函数f(x)＝log₂(2^x＋1)．

(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增；

(2)记f^－1(x)为函数f(x)的反函数．若关于x的方程f^－1(x)＝m＋f(x)在[1，2]上有解，求m的取值范围．

已知函数　f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，求实数a的取值范围.

【解析】本试题考查了导数在研究函数中的运用。根据函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，可知导函数在给定区间恒小于等于零，f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．然后利用φ(x)＝1－lnx，φ(x)_max＝1，从而得到a≥e

f ′(x)＝＝，因为　f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故　f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－lnx，φ(x)_max＝1，故lna≥1，a≥e，

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