Question

已知函数．
（1）设ω＞0为常数，若上是增函数，求ω的取值范围；
（2）设集合，若A?B恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函数的降幂公式将化为f（x）=2sinx，从而f（ωx）=2sinωx，利用f（ωx）在[，]是增函数，可得到
，从而可求ω的取值范围；
（2）由于f（x）=2sinx，将化为sin²x-2msinx+m²+m-1＞0，令sinx=t，则t²-2mt+m²+m-1＞0，t∈[，1]，记f（t）=t²-2mt+m²+m-1，
问题转化为上式在t∈[，1]上恒成立问题，根据区间[，1]在对称轴t=m的左侧，右侧，对称轴穿过区间[，1]三种情况结合二次函数的单调性即可解决．
解答：（本小题满分14分）
解：（1）=2sinx（1+sinx）-2sin²x=2sinx．
∵是增函数，
∴，∴

（2）
=sin²x-2msinx+m²+m-1＞0
因为，设sinx=t，则t∈[，1]
上式化为t²-2mt+m²+m-1＞0
由题意，上式在t∈[，1]上恒成立．
记f（t）=t²-2mt+m²+m-1，
这是一条开口向上抛物线，
则
或
或
解得：．
点评：本题考查二倍角的余弦，二次函数的性质，难点在于转化与构造函数，利用f（t）=t²-2mt+m²+m-1＞0恒成立，t∈[，1]来解决，属于难题．