题目内容

若数列{an}的前n项和为Sn,a1=2且Sn+1=4an-2(n=1,2,3,…).

(1)求a2,a3;

(2)求证:数列{an-2an-1}是常数列;

(3)求证:++…+＜.

答案：(1)解:∵Sn+1=4an-2(n=1,2,3,…),

∴S2=4a1-2=6.

∴a2=S2-a1=4.

同理可得a3=8.

(2)证明:∵Sn+1=4an-2(n=1,2,3,…),

∴Sn=-2(n≥2).

两式相减得an+1=4an-,

变形得an+1-2an=2an-4an-1=2(an-2an-1)( n≥2),

则an-2an-1=2(an-1-2an-2)(n≥3).

an-2an-1=2(an-1-2an-2)=22(an-2-2an-3)=23(an-3-2an-4)=…=2n-2(a2-2a1).

∵a2-2a1=0,

∴an-2an-1=2n-2(a2-2a1)=0.

数列{an-2an-1}是常数列.

(3)证明:由(2)可知:an=2a n-1(n≥2).

数列{an}是以2为首项,以2为公比的等比数列.

∴an=2n.

∴==·＜.

++…+＜++…+=.

练习册系列答案
相关题目
已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n∈N*）都在函数y=log
12
x的图象上．
（Ⅰ）若数列{bn}是等差数列，求证数列{an}为等比数列；
（Ⅱ）若数列{an}的前n项和为Sn=1-2-n，过点Pn，Pn+1的直线与两坐标轴所围成三角形面积为cn，求使cn≤t对n∈N*恒成立的实数t的取值范围．
以下有四种说法：
（1）若p∨q为真，p∧q为假，则p与q必为一真一假；
（2）若数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1，n∈N*，则an=2n，n∈N*；
（3）若f′（x0）=0，则f（x）在x=x0处取得极值；
（4）由变量x和y的数据得到其回归直线方程l： 
y
=bx+a，则l一定经过点P(
.
x
， 
.
y
)．
以上四种说法，其中正确说法的序号为
 
．
若数列{an}的前n项和为Sn，则下列命题：
（1）若数列{an}是递增数列，则数列{Sn}也是递增数列；
（2）数列{Sn}是递增数列的充要条件是数列{an}的各项均为正数；
（3）若{an}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2…Sk=0的充要条件是a1•a2…ak=0．
（4）若{an}是等比数列，则S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N）的充要条件是an+an+1=0．
其中，正确命题的个数是（　　）
若数列{an}的前n项和为Sn，且有4Sn=an2+4n-1，n∈N*，
（1）求a1的值；
（2）求证：(an-2)2-an-12=0(n≥2)；
（3）求出所有满足条件的数列{an}的通项公式．
已知点（x，y）是区域
x+2y≤2n
x≥0
y≥0
，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作zn．若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且点（Sn，an）在直线zn=x+y上．
（Ⅰ）证明：数列{an-2}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{Sn}的前n项和Tn．

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