题目内容
已知数列{an} 和 {bn}中，a1=t（t＞0），a2=t2．当x=| t |
| 1 |
| 3 |
（1）求数列{an} 的通项公式．
（2）若点Pn（1，bn）．过函数g（x）=ln（1+x2）图象上的点（an，g（an））的切线始终与OPn平行（O是坐标原点）．求证：当
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| -n |
| 2 |
分析：（1）利用函数极值的定义，探求数列{an} 相邻两项之间的关系，进行变形，整理，确定出相关数列为特殊数列，从而达到求解的目的；
（2）利用导数的几何意义，求出bn，利用放缩法将
+
+…+
转化，使之进一步作为桥梁沟通与2n-2
的联系．
（2）利用导数的几何意义，求出bn，利用放缩法将
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| -n |
| 2 |
解答：解：（1）f′（x）=（an-1-an）x2-（an-an+1）
当x=
时，函数f（x）取得极值，则f′（
）=0，
代入整理得，an+1-an=t（an-an-1） （n≥2）
又t＞0，∴数列{an+1-an}是首项为 a2-a1=t2-t，公比为t的等比数列．
∴an+1-an=（t2-t）•tn-1=tn+1-tn
当n≥2时，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=（tn-tn-1）+（tn-1-tn-2）+…+（t2-t1）+t=tn
当t=1时符合，∴数列{an} 的通项公式an=tn．
（2）g′（x）=[ln（1+x2）]′=
过函数g（x）图象上的点（an，g（an））的切线的斜率k1=g′（an）=
=bn．
∴
=
(tn+
)
因为
＜t＜2，所以（2t）n＞1，tn＜2n．
则（2n+2-n）-（tn+t-n）=
（2n-tn）[（2t）n-1]＞0，
有
＜
（2n+2-n），
故
+
+…+
＜
[（2+
）+（22+
）+…+（2n+
）]=2n-
（1+
），
∵1+
＞2
∴
+
+…+
＜2n-
=2n-2-
即证．
当x=
| t |
| t |
代入整理得，an+1-an=t（an-an-1） （n≥2）
又t＞0，∴数列{an+1-an}是首项为 a2-a1=t2-t，公比为t的等比数列．
∴an+1-an=（t2-t）•tn-1=tn+1-tn
当n≥2时，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=（tn-tn-1）+（tn-1-tn-2）+…+（t2-t1）+t=tn
当t=1时符合，∴数列{an} 的通项公式an=tn．
（2）g′（x）=[ln（1+x2）]′=
| 2x |
| 1+x2 |
过函数g（x）图象上的点（an，g（an））的切线的斜率k1=g′（an）=
| 2an |
| 1+an2 |
∴
| 1 |
| bn |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| tn |
因为
| 1 |
| 2 |
则（2n+2-n）-（tn+t-n）=
| 1 |
| (2t)n |
有
| 1 |
| bn |
| 1 |
| 2 |
故
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n |
∵1+
| 1 |
| 2n |
|
∴
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
|
| n |
| 2 |
点评：本题是函数、数列，不等式的综合．本题主要运用了函数的极值，均值不等式，等比数列的通项公式，累和法数列求和．是基础知识、基本方法的综合考查．要求具有一定的分析解决问题，计算，化简的能力．
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