Question

【题目】已知动点M到定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为.

（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交曲线C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4

【解析】

本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用

（1）考查椭圆的基本量间的关系

（2）是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，在本问中需考虑直线的斜率是否存在

解：(1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，为长轴长的椭圆．

由c＝2，a＝2 ，得b＝2.

故动点M的轨迹C的方程为.

(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，

由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.

Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)>0，则k>0或k<－

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， .

从而

当直线l的斜率不存在时，得

所以k1＋k2＝4.

综上，恒有k1＋k2＝4.