Question

【题目】统计学中将个数的和记作

（1）设，求；

（2）是否存在互不相等的非负整数，,使得成立，若存在，请写出推理的过程；若不存在请证明；

（3）设是不同的正实数，，对任意的，都有，判断是否为一个等比数列，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）79；（2）不存在，证明详见解析；（3）是等比数列，理由详见解析.

【解析】

（1）代值计算结果．（2）距离2019最近的2的幂次为，而2019小于2048，所以，但是2048和2019的差不大，所以可以研究他们的差如何表示．（3）利用数学归纳法证明.

（1）因为，所以

所以

（2）因为，

又，所以中最大可能是10，

因为，

所以

又，

所以必有·

又因为，所以

所以必然存在某几项，其中，

只有，

所以存在这样互不相等的非负整数，，

使得成立。

（3）数学归纳法证明：

当，代入，

化简得所以成等比数列

假设当时成等比数列，是不同的正实数

记，设

化简整理得：

去分母同乘以得

整理

因为

得，从而，

所以时是等比数列