题目内容
【题目】对称轴为坐标轴的椭圆
的焦点为
，
，
在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点
的直线
与椭圆交于
，
两点，且直线
，
，
的斜率依次成等比数列，则当
的面积为
时，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）直线
的方程为：
或
【解析】
（1）设椭圆
的方程为
，由椭圆的定义求
，进而得到椭圆标准方程；（2）设
，
.由题意将直线方程与椭圆方程联立，得
，
，又
，，
的斜率依次成等比数列，解得
，由
，
到直线的距离
，
，解得
，得直线方程
（1）设椭圆的方程为 ，
由题意可得
，又由
，得
，故
，
椭圆的方程为；
（2）设，.
由题意直线
的方程为：
，
联立
得
，
，化简，得
①
②，
③
直线，，的斜率依次成等比数列，
，
，化简，得
，
，又
，
，
且由①知
.
原点到直线的距离.
，解得
（负舍）或
（负舍）.
直线的方程为：或.
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【题目】棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300
的为“长纤维”，其余为“短纤维”）
纤维长度 |
|
|
|
|
|
甲地（根数） | 3 | 4 | 4 | 5 | 4 |
乙地（根数） | 1 | 1 | 2 | 10 | 6 |
（1）由以上统计数据，填写下面
列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.
甲地 | 乙地 | 总计 | |
长纤维 | |||
短纤维 | |||
总计 |
附：（1）
；
（2）临界值表；
| 0．10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（2）现从上述40根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为
，求
的分布列及数学期望.
