题目内容

已知命题p：夹角为m的单位向量a，b使|a-b|＞l，命题q：函数f（x）=msin（mx）的导函数为f′（x），若?x_o∈R， $数学公式$ ．设符合p∧q为真的实数m的取值的集合为A．
（I）求集合A；
（Ⅱ）若B={x∈R|x²=πa}，且B∩A=∅，求实数a的取值范围．

解：（I）∵| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |＞1，| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=1
∴ $\text{[math]}$ ²+ $\text{[math]}$ ²-2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2-2cosm＞1
∴cosm＜ $\text{[math]}$
∵0≤m≤π
∴ $\text{[math]}$ ＜m≤π
即命题p为真时，m的取值对应的集合P=（ $\text{[math]}$ ，π]
函数f（x）=msin（mx）的导函数f′（x）=m²cos（mx），
若?x_o∈R， $\text{[math]}$ ．则f′（x）_max=m²≥ $\text{[math]}$
解得m≤- $\text{[math]}$ 或m≥ $\text{[math]}$ ，
p∧q为真，即p和q都为真，此时有 $\text{[math]}$ ＜m≤π且m≤- $\text{[math]}$ 或m≥ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ≤m≤π
故实数m的取值的集合为A=[ $\text{[math]}$ ，π]．
（II）（1）若B=∅，满足B∩A=∅，
此时实数a的取值范围a＜0；
（2）若B≠∅，则a≥0，此时B={x|x=± $\text{[math]}$ }，
由B∩A=∅，得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，
∴0≤a≤ $\text{[math]}$ ，或a $\text{[math]}$ ．
综上，实数a的取值范围是（-∞， $\text{[math]}$ ]∪[ $\text{[math]}$ ，+∞）．
分析：（I）分别求出命题为真时，参数的范围，再根据p∧q为真，则p真q真，建立不等式组，从而可求实数m的取值范围．
（II）由条件A∩B=φ，对字母a分类讨论，我们易构造出一个关于a的不等式，解此不等式即可得到实数a的取值范围．
点评：本题的考点是集合的包含关系判断及应用，主要考查集合的关系、集合的运算，同时考查向量运算与导数的应用．集合关系中的参数取值问题，其中根据已知条件，构造出关于a的不等式组，是解答本题的关键．本题是一个中档题目．