Question

已知函数f（x）=x³-ax．（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：

x

f(x)+ax

•e-x+xlnx＞

3

2ex

-ex-2．

Answer 1

分析：（I）先求导，令f′（x）=0，由f′（x）≥0可求函数的递增区间，由f′（x）＜0可求函数的单调递减区间
（II）要证明原不等式，可转化为证明x²lnx＞

3

2e

-

xex

e2

-

1

xex

，构造函数设p（x）=x²lnx，q（x）=

3

2e

-

xex

e2

-

1

xex

=

3

2e

-(

xex

e2

+

1

xex

)，利用导数可得当x=e-

1

2

时，函数p（x）取得最小值-

1

2e

，利用基本不等式可求q（x）有最小值q（x）=-

1

2e

，可证

解答：解（I）f′（x）=3x²-a
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在R上单调递增
当a＞0时，由由f′（x）≥0可得c×≥

3a

3

或x≤-

3a

3

由f′（x）＜0可得-

3a

3

＜x＜

3a

3

综上可得，a≤0时，f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在R上单调递增
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（

3a

3

，+∞），（-∞，-

3a

3

），单调递减区间（-

3a

3

，

3a

3

）
（II）证明：原不等式可化为xlnx＞

3

2ex

-

ex

e2

-

1

x2ex

容易得x＞0，上式两边同乘以x可得x²lnx＞

3

2e

-

xex

e2

-

1

xex

设p（x）=x²lnx，q（x）=

3

2e

-

xex

e2

-

1

xex

=

3

2e

-(

xex

e2

+

1

xex

)
则由p′（x）=x（2lnx+1）可得x=0（舍）或x=e-

1

2

∴0＜x＜e-

1

2

时，p′（x）＜0，x＞e-

1

2

时，p′（x）＞0
∴当x=e-

1

2

时，函数p（x）取得最小值-

1

2e

∵q（x）=

3

2e

-

xex

e2

-

1

xex

=

3

2e

-(

xex

e2

+

1

xex

)≤

3

2e

-2

1 e2

=-

1

2e

当且仅当

xex

e2

=

1

xex

即xe^x=e时取等号
令r（x）=xe^x，可得r（x）在（0，+∞）上单调递增，且r（1）=e
当x=1时，q（x）有最小值q（x）=-

1

2e

∴p(x)≥-

1

2e

≥q(x)
由于上面两个等号不能同时取得，故有p（x）＞q（x0，则原不等式成立

点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，而（2）中的证明具有很强的技巧性，综合了导数求解函数的最值，基本不等式求解函数的最值及利用构造函数证明不等式．