题目内容

（2012•邯郸模拟）已知A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上不同两点，且直线AB倾斜角为锐角，F为抛物线焦点，若
FA
=-3
FB，
则直线AB倾斜角为（　　）
分析：抛物线y2=2px（p＞0）以原点为顶点，开口向右，焦点F（
p
2
，0），由
FA
=-3
FB，
设B（
b2
2p
，b），b＜0，利用题设条件能推导出b2=
p2
3
，b=-
p
3
，由此能求出直线AB倾斜角．
解答：解：抛物线y2=2px（p＞0）以原点为顶点，开口向右，焦点F（
p
2
，0），
∵
FA
=-3
FB，
∴B在x轴下方，
设B（
b2
2p
，b），b＜0，
则
FB
=（
b2
2p
-
p
2
，b）
FA
=（-
3b2
2p
+
3p
2
，-3b），
OA
=
OF
+
FA
=（
p
2
，0）+（-
3b2
2p
+
3p
2
，-3b）=（-
3b2
2p
+2p，-3b），
（-3b）2=2p（-
3b2
2p
+2p），
b2=
p2
3
，b=-
p
3
，
设直线AB倾斜角为θ，
则tanθ=
b-0
b2
2p
-
p
2
=
2bp
b2-p2
=
2p(-
p
3
)
p2
3
-p2
=
3
．
∴θ=
π
3
．
故选D．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质、向量知识的灵活运用．
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2
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π
6
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1
2
]．
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3
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