Question

（2012•邯郸模拟）四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，其三视图如图所示，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2

2

，则该球表面积为（　　）

• A．9π
• B．3π
• C．2

  2

  π
• D．12π

Answer 1

分析：将三视图还原为直观图，得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正方体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．

解答：解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，
且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a
设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG
根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2

2

，即正方体面对角线长也是2

2

可得AG=

2

=

2

2

a，所以正方体棱长a=2
∴Rt△OGA中，OG=

1

2

a=1，AO=

3

即外接球半径R=

3

，得外接球表面积为4πR²=12π
故选D．

点评：本题主要考查了将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于中档题．