题目内容

设向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）若 $数学公式$ （0＜x＜ $数学公式$ ），求tanx的值；
（2）求函数f（x）= $数学公式$ 的最小正周期和函数在 $数学公式$ 的最大值及相应x的值．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴sinxcosx- $\text{[math]}$ cos²x=0．
∵0＜x＜ $\text{[math]}$ ，∴sinx- $\text{[math]}$ cosx=0，tanx= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）函数f（x）= $\text{[math]}$ =sinxcosx- $\text{[math]}$ cos²x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ cos2x+ $\text{[math]}$
=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，故它的最小正周期为 $\text{[math]}$ =π．
再由 $\text{[math]}$ ，可得 2x+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
故当 2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，函数取得最大值为 $\text{[math]}$ ，此时，x= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用两个向量平行的性质可得 sinxcosx- $\text{[math]}$ cos²x=0，再由 0＜x＜ $\text{[math]}$ ，以及同角三角函数的基本关系求得tanx的值．
（2）利用两个向量的数量积公式以及两角和差的正弦公式求得f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，由此求得它的最小正周期．再根据正弦函数的定义域和值域，求得函数的最大值．
点评：本题主要考查两个向量平行的性质，两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．