Question

已知p＞0，动点M到定点F(

p

2

， 0)的距离比M到定直线l：x=-p的距离小

p

2

．
（I）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A，B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，

OA

•

OB

=0，求△AOB面积的最小值；
（Ⅲ）在轨迹C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k(x-

p

2

)(k≠0)对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知动点M到定点F与到定直线x=-

p

2

的距离相等，点M的轨迹为抛物线，由此可求出轨迹C的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题设知x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂=4p²，

S

2 △AOB

=

1

4

|

OA

|2|

OB

|2=

1

4

(

x

2 1

+

y

2 1

)(

x

2 2

+

y

2 2

)=

1

4

(

x

2 1

+2px1)(

x

2 2

+2px2)=16p⁴，由此导出△AOB面积最小值为4p²．
（Ⅲ）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）关于直线m对称，且PQ中点D（x₀，y₀），由题设条件知y3+y4=2p

x3-x4

y3-y4

=-2pk，y₀=-pk，再由D（x₀，y₀）在m：y=k(x-

p

2

)(k≠0)上，知点D（x₀，y₀）在抛物线外，所以在轨迹C上不存在两点P，Q关于直线m对称．

解答：解：（Ⅰ）∵动点M到定点F与到定直线x=-

p

2

的距离相等
∴点M的轨迹为抛物线，轨迹C的方程为：y²=2px．（4分）

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂
∴x₁x₂=4p²
∴

S

2 △AOB

=

1

4

|

OA

|2|

OB

|2=

1

4

(

x

2 1

+

y

2 1

)(

x

2 2

+

y

2 2

)
=

1

4

(

x

2 1

+2px1)(

x

2 2

+2px2)
=

1

4

[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2]≥

1

4

[(x1x2)2+2px1x2•2

x1x2

+4p2x1x2]=16p⁴
∴当且仅当x₁=x₂=2p时取等号，△AOB面积最小值为4p²．（9分）

（Ⅲ）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）关于直线m对称，且PQ中点D（x₀，y₀）
∵P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在轨迹C上
∴y₃²=2px₃，y₄²=2px₄
两式相减得：（y₃-y₄）（y₃+y₄）=2p（x₃-x₄）
∴y3+y4=2p

x3-x4

y3-y4

=-2pk
∴y₀=-pk
∵D（x₀，y₀）在m：y=k(x-

p

2

)(k≠0)上
∴x0=-

p

2

＜0，点D（x₀，y₀）在抛物线外
∴在轨迹C上不存在两点P，Q关于直线m对称．（14分）

点评：本题综合考查轨迹方程和直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．