Question

已知p＞0，动点M到定点F的距离比M到定直线l：x=-p的距离小．
（I）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A，B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，，求△AOB面积的最小值；
（Ⅲ）在轨迹C上是否存在两点P，Q关于直线对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设知动点M到定点F与到定直线的距离相等，点M的轨迹为抛物线，由此可求出轨迹C的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题设知x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂=4p²，==16p⁴，由此导出△AOB面积最小值为4p²．
（Ⅲ）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）关于直线m对称，且PQ中点D（x，y），由题设条件知，y=-pk，再由D（x，y）在上，知点D（x，y）在抛物线外，所以在轨迹C上不存在两点P，Q关于直线m对称．
解答：解：（Ⅰ）∵动点M到定点F与到定直线的距离相等
∴点M的轨迹为抛物线，轨迹C的方程为：y²=2px．（4分）

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂
∴x₁x₂=4p²
∴
=
=≥=16p⁴
∴当且仅当x₁=x₂=2p时取等号，△AOB面积最小值为4p²．（9分）

（Ⅲ）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）关于直线m对称，且PQ中点D（x，y）
∵P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在轨迹C上
∴y₃²=2px₃，y₄²=2px₄
两式相减得：（y₃-y₄）（y₃+y₄）=2p（x₃-x₄）
∴
∴y=-pk
∵D（x，y）在上
∴，点D（x，y）在抛物线外
∴在轨迹C上不存在两点P，Q关于直线m对称．（14分）
点评：本题综合考查轨迹方程和直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．