Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρsn（θ+

π

4

）=

2

2

a，曲线C₂的参数方程为

x=-1+cosθ y=-1+sinθ

，（θ为参数，0≤θ≤π）．
（Ⅰ）求C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）当C₁与C₂有两个公共点时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；
（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．

解答：解：（Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程为ρ（

2

2

sinθ+

2

2

cosθ）=

2

2

a，
∴曲线C₁的直角坐标方程为x+y-a=0．
（Ⅱ）曲线C₂的直角坐标方程为（x+1）²+（y+1）²=1（-1≤y≤0），为半圆弧，
如图所示，曲线C₁为一族平行于直线x+y=0的直线，
当直线C₁过点P时，利用

|-1-1-a|

2

=1得a=-2±

2

，
舍去a=-2-

2

，则a=-2+

2

，
当直线C₁过点A、B两点时，a=-1，
∴由图可知，当-1≤a＜-2+

2

时，曲线C₁与曲线C₂有两个公共点．

点评：本题考查参数方程化普通方程及直线与圆的位置关系，属基础题．