Question

已知数列{a_n}满足（n=1，2，3，…）
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_2n-1•a_2n，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证T_n＜3．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别令n=1，2，3，4可求得a₃，a₄，a₅，a₆的值，分类讨论，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列{b_n}的通项，利用错位相减法求数列的和，即可证得结论．
解答：（1）解：分别令n=1，2，3，4可求得：
当n为奇数时，不妨设n=2m-1，m∈N^*，则a_2m+1-a_2m-1=2．
∴{a_2m-1}为等差数列，∴a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1
即a_m=n．
当n为偶数时，设n=2m，m∈N^*，则a_2m+2-a_2m=0．
∴{a_2m}为等比数列，，
故．
综上所述，；
（2）证明：b_n=a_2n-1•a_2n=（2n-1）•
∴T_n=1×+3×+…+（2n-1）•
∴T_n=1×+3×+…+（2n-3）•+（2n-1）•
两式相减可得T_n=+2（++…+）-（2n-1）•=-
∴T_n=3-
∴T_n＜3．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．