Question

已知函数f（x）=x³-ax²（a∈R）．
（Ⅰ）若f′（1）=3，
（i）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程，
（ii）求f（x）在区间[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）若当x∈[0，2]时，f（x）+x≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程，以及求函数的最值．
（Ⅱ）将不等式进行转化，将恒成立问题转化为求函数的大小问题．

解答：解：（Ⅰ）（i）∵f（x）=x³-ax²（a∈R），∴f'（x）=3x²-2ax，
由f'（1）=3-2a=3，解得a=0，
∴y=f（x）=x³．
∵f（1）=1，f'（x）=3x²，f'（1）=3，
∴切点（1，1），斜率为3，
∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-2．
（ii）∵f（x）=x³，f'（x）=3x²≥0，
∴f（x）在[0，2]单调递增，
∴f（x）最大值为f（2）=8．
（Ⅱ）∵x³-ax²+x≥0对x∈[0，2]恒成立，
∴ax²≤x³+x．
当x=0时成立．
当x∈（0，2]时a≤x+

1

x

，
∵x+

1

x

≥2，在x=1处取最小值．
∴a≤2．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查导数的基本运算和应用，考查学生的运算能力．