Question

【题目】若实数数列满足，则称数列为“数列”．

（Ⅰ）若数列是数列，且，求，的值；

（Ⅱ）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；

（Ⅲ）若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）的取值集合为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由递推公式可得，，，再由可得，，；（Ⅱ）此命题是否定性命题，可用反证法证明，即假设数列中各项全是正数（或全是负数），由递推公式推出矛盾即可；（Ⅲ）这类问题的数列应该是有一定的规律，最简单的就是周期数列，首先由（Ⅱ）可知数列中项既有负数也有正数，

且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．因此存在最小的正整数满足（）．设，则由递推公式计算，最后可知数列是周期为9的周期数列，由刚才的计算可知在这9个数中有6个正数，3个负数，接着只要对分别讨论（关键是中有几个负数）．

试题解析：（Ⅰ）因为是数列，且

所以，

所以,

所以，解得,

所以．

（Ⅱ）假设数列的项都是正数，即，

所以，，与假设矛盾．

故数列的项不可能全是正数,

假设数列的项都是负数，

则而,与假设矛盾,

故数列的项不可能全是负数．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知数列中项既有负数也有正数，

且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．

因此存在最小的正整数满足（）．

设，则

．

,

故有, 即数列是周期为9的数列

由上可知这9项中为负数，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数．

因为,

所以当时，;

当时，这项中至多有一项为负数，而且负数项只能是,

记这项中负数项的个数为，

当时，若则，故为负数，

此时，；

若则，故为负数．

此时，，

当时，必须为负数，，,

综上可知的取值集合为．