Question

已知向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，
（I）求与

a

平行的单位向量

c

；
（II）设

x

=

a

 +(t2+3)

b

，

y

=-k•t

a

+

b

，若存在t∈[0，2]使得

x

⊥

y

成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设向量

c

=（x，y），根据题意，向量

c

为单位向量且与

a

平行，可得

x+ 3 y=0 x2+y2=1

；解可得x、y的值，即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，由

x

⊥

y

可得-kt|

a

|²+（t²+3）|

b

|²=0，进一步可化简为t²-4kt+3=0；可将原问题方程t²-4kt+3=0在t∈[0，2]内有解，分析易得t≠0，则可将其变形为k=

1

4

（t+

3

t

），由基本不等式易得k的最小值，即可得答案．

解答：解：（I）设向量

c

=（x，y），
则有

x+ 3 y=0 x2+y2=1

；
解可得

x= 3 2 y=- 1 2

或

x=- 3 2 y= 1 2

，
则

c

=（

3

2

，-

1

2

）或（-

3

2

，

1

2

）；
（II）根据题意，易得|

a

|=2，|

b

|=1，且

a

•

b

=0；
由

x

⊥

y

可得-kt|

a

|²+（t²+3）|

b

|²=0，
即t²-4kt+3=0，
问题转化为方程t²-4kt+3=0在t∈[0，2]内有解，
则当t=0时，方程t²-4kt+3=0不成立，所以t≠0，
此时k=

1

4

（t+

3

t

）≥

3

2

，当且仅当t=

3

t

时取到等号，
故k的取值范围是[

3

2

，+∞）．

点评：本题考查向量数量积运算的综合应用，解（Ⅱ）题时注意首先将原问题转化为方程t²-4kt+3=0在t∈[0，2]内有解，进而转化为基本不等式的问题求解．