Question

已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.

(1)求证:tanA=2tanB;

(2)设AB=3,求AB边上的高.

Answer 1

剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以(1)为铺垫,解决(2).

(1)证明：∵sin(A+B)=,sin(A-B)=,

    ∴=2.

    ∴tanA=2tanB.

(2)解：＜A+B＜π,∴sin(A+B)=.

    ∴tan(A+B)=-,

    即=-.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan²B-4tanB-1=0,解得tanB=(负值舍去).得tanB=,∴tanA=2tanB=2+.

    设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=.

    由AB=3得CD=2+,∴AB边上的高为2+.

讲评：本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力.