题目内容
已知数列{an}是首项为
，公比
的等比数列，设
，
数列{cn}满足cn=an·bn．
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）若
对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
，公比的等比数列，设，数列{cn}满足cn=an·bn．
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）若
对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知，an=（
）n．
∵
，
∴b1=1∴bn+1﹣bn=3
an+1
=3
an
=3
=3
q
=3
∴数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由（1）知，an=（
）n．bn=3n﹣2
∴Cn=（3n﹣2）×（
）n．
∴Sn=1×
+4×（
）2+…+（3n﹣2）×（
）n，
于是
Sn=1×（
）2+4×（
）3+…（3n﹣2）×（
）n+1，
两式相减得
Sn=
+3×[（
）2+（
）3+…+（
）n）﹣（3n﹣2）×（
）n+1，
=
﹣（3n﹣2）×（
）n+1，
∴Sn=
﹣
（
）n+1
（3）∵Cn+1﹣Cn=（3n+1）×（
）n+1﹣（3n﹣2）×（
）n=9（1﹣n）×（
）n+1，
∴当n=1时，C2=C1=
又
∴
≥
即m2+4m﹣5≧0
解得m≧1或m≤﹣5．
）n．∵
，∴b1=1∴bn+1﹣bn=3
an+1=3
an=3
=3
q=3
∴数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由（1）知，an=（
）n．bn=3n﹣2∴Cn=（3n﹣2）×（
）n．∴Sn=1×
+4×（）2+…+（3n﹣2）×（）n，于是
Sn=1×（）2+4×（）3+…（3n﹣2）×（）n+1，两式相减得
Sn=+3×[（）2+（）3+…+（）n）﹣（3n﹣2）×（）n+1，=
﹣（3n﹣2）×（）n+1，∴Sn=
﹣（）n+1（3）∵Cn+1﹣Cn=（3n+1）×（
）n+1﹣（3n﹣2）×（）n=9（1﹣n）×（）n+1，∴当n=1时，C2=C1=
又
∴
≥即m2+4m﹣5≧0
解得m≧1或m≤﹣5．
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