Question

【题目】在平面直角坐标系中，设椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为.已知点是椭圆上一点，当直线经过点时，原点到直线的距离为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与圆：相交于点（异于点），设点关于原点的对称点为，直线与椭圆相交于点（异于点）．①若，求的面积；②设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：是定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

（1）运用椭圆的离心率公式以及点到直线的距离公式，解方程可得，，，进而得到所求椭圆方程；（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，联立椭圆方程可得的坐标，联立圆方程可得的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，①由可得，求得，坐标，以及，，由的面积为，计算可得；②运用两点的斜率公式，分别计算线的斜率为，直线的斜率为，即可得证.

（1）据题意，椭圆的离心率为，即.①

当直线经过点时，直线的方程为，即，

由原点到直线的距离为，可知，

即.③

联立①②可得，，，故.

所以椭圆的方程为.

（2）据题意，直线的斜率存在，且不为0，

设直线的斜率为，则直线的方程为，

联立，整理可得，

所以或.

所以点的坐标为，

联立和，

整理可得，所以或.

所以点的坐标为.

显然，是圆的直径，故，

所以直线的方程为.

用代替，得点的坐标为，

即.

①由可得，，

即，解得.

根据图形的对称性，不妨取，

则点，的坐标分别为，，

故，.

所以的面积为.

②证明：直线的斜率，

直线的斜率.

所以为定值，得证.