Question

3．在平面直角坐标系中，已知A（-1，1），B（2，4），圆C：x²-2ax+y²-4y+a²+$\frac{51}{25}$=0．
（1）若a=0，求圆C截直线AB所得的弦长；
（2）若圆C与直线AB相交于P、Q两点，且CP⊥CQ，求a的值．

Answer 1

分析 （1）若a=0可得x²+y²-4y+$\frac{51}{25}$=0，确定圆心与半径，直线AB的方程为x-y+2=0，圆心在直线上，可得圆C截直线AB所得的弦长；
（2）通过圆C与直线AB相交于P，Q两点，且CP⊥CQ，转化为，圆心到直线的距离与半径的关系，即可求a的值．

解答 解：（1）若a=0可得x²+y²-4y+$\frac{51}{25}$=0，即x²+（y-2）²=$\frac{49}{25}$，圆心为（0，2），半径为$\frac{7}{5}$
直线AB的方程为x-y+2=0，圆心在直线上，
∴圆C截直线AB所得的弦长为$\frac{14}{5}$；
（2）圆C与直线AB相交于P，Q两点，且CP⊥CQ，可知，圆心到直线的距离与半径满足r=$\sqrt{2}$d，
圆C：x²-2ax+y²-4y+a²+$\frac{51}{25}$=0，圆心（a，2），半径为：$\frac{7}{5}$．
∴d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$，则$\sqrt{2}$×$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7}{5}$，
可得a=±$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查圆的一般方程与直线的综合应用，直线与圆的位置关系，考查计算能力．