Question

（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．

（Ⅰ）求证：//平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

 

Answer 1

【答案】

（1）、（2）见解析；（3）

【解析】（1）因为分别是线段的中点，所以，由线面平行的判定定理得//平面；（2）由已知易证平面，所以，又，

分别是线段的中点，得，根据线面垂直的判定定理得平面；（3）由二面角的定义知就是所求二面角的平面角，等于.另解：因为四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，可建立空间直角坐标系，写出需要的各点坐标.（1）只需证出与共线；（2）只需证与平面内的任意两个不共线向量垂直；（3）需求出平面的法向量和平面的法向量，把二面角转化为两个法向量的夹角，注意角的范围.

建立如图所示的空间直角坐标系，

,

，，，．…………1分

（Ⅰ）证明：

∵，，

∴,

∵平面，且平面，

∴//平面．………………………………4分

（Ⅱ）证明：

，，，

  

，

又，

∴平面． ………………………………………………8分

（Ⅲ）设平面的法向量为,

因为，，

则取  

又因为平面的法向量为

所以 

所以二面角的大小为．…………………………………12分