题目内容

设数列{an}满足an=2an-1+1（n≥2），且a1=1，bn=log2（an+1）．
（1）证明：数列{an+1}为等比数列；
（2）求数列的前n项和Sn．
【答案】分析：（1）由已知可得an+1=2（an-1+1），即可证明
（2）由（1）可求an，进而可求bn，代入利用裂项求和方法即可求解
解答：（1）证明：∵an=2an-1+1（n≥2）
∴an+1=2（an-1+1），
∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列
（2）解由（1）可知，=2n
∴an=2n-1，bn=log2（an+1）=n
由于==
∴
=1-
=
点评：本题主要考查了等比数列的判断与证明，等比数列的通项公式及裂项求和方法的应用．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=1，且对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，则数列{an}的通项公式为（　　）
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时.
则{cn}是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{an}的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得数列Sn有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如数列cn：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时
，则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求证：{an}为准等差数列；
（Ⅱ）求证：{an}的通项公式及前20项和S20．
设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx满足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，则数列{cn}的前n项和Sn为（　　）
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n
设数列{an}满足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，则A2013=（　　）

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