Question

设A是如下形式的2行3列的数表，满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[-1，1]，且a+b+c+d+e+f=0，记r_i（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），C_j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r₁（A）|，|r₂（A）|，|c₁（A）|，|c₂（A）|，|c₃（A）|中的最小值。

（1）对如下数表A，求k（A）的值。

（2）设数表A形如下表，其中-1≤d≤0．求k（A）的最大值；

（3）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值。

Answer 1

解：（1）因为r₁（A）=1.2，r₂（A）=-1.2，c₁（A）=1.1，c₂（A）=0.7，c₃（A）=-1.8，
所以k（A）=0.7 。
（2）r₁（A）=1-2d，r₂（A）=-1+2d，c₁（A）=c₂（A）=1+d，c₃（A）=-2-2d
因为-1≤d≤0，
所以|r₁（A）|=|r₂（A）|≥1+d≥0，
|c₃（A）|≥1+d≥0
所以k（A）=1+d≤1
当d=0时，k（A）取得最大值1 。
（3）任给满足性质P的数表A（如下所示）

因此，不防设r₁（A）≥0，c₁（A）≥0，c₂（A）≥0，
由k（A）的定义知，k（A）≤r₁（A），k（A）≤c₁（A），k（A）≤c₂（A），
从而3k（A）≤r₁（A）+c₁（A）+c₂（A）=（a+b+c）+（a+d）+（b+e）=（a+b+c+d+e+f）+（a+b-f）=a+b-f≤3
所以k（A）≤1
由（2）可知，存在满足性质P的数表A使k（A）=1，
故k（A）的最大值为1。