Question

抛物线y²=4x的焦点为F，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0）在抛物线上，且存在实数λ，使=0，．
（1）求直线AB的方程；
（2）求△AOB的外接圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出抛物线的准线方程，根据=0可得到A，B，F三点共线，再由抛物线的定义可表示出||，再设直线AB方程后与抛物线方程进行联立消去y得到关于x的方程，进而可得到两根之和与两根之积，代入到||的表达式中可求出最后k的值，进而得到直线AB的方程．
（2）由（1）中求得的直线方程与抛物线联立可求出A，B的坐标，然后设圆的一般式方程，用待定系数法求出D，E，F的值，得到答案．
解答：解：（1）抛物线y²=4x的准线方程为x=-1．
∵=0，
∴A，B，F三点共线．
由抛物线的定义，得||=x₁+x₂+2．
设直线AB：y=k（x-1），而k=，x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0．∴k＞0
由得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．
∴
||=x₁+x₂+2=．
∴．
从而k=，
故直线AB的方程为y=，
即4x-3y-4=0．
（2）由求得A（4，4），B（，-1）．
设△AOB的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则解得
故△AOB的外接圆的方程为．
点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．考查综合运用能力．