Question

抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且AF=2BF，则A点的坐标为

（5，2

2

）或（5，-2

2

）

．

Answer 1

分析：先设出直线AB的方程，代入抛物线方程，得，关于y的一元二次方程，利用韦达定理，写出A、B纵坐标的和与积，再由AF=2BF，得，A、B纵坐标间的关系．解方程即可得A点的坐标．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
设过点F的直线方程为x=my+1，代入抛物线y²=4x，得y²-4my-4=0
∵△＞0，∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4
∵AF=2BF，∴y₁=-2y₂
∴y₁=2

2

，m=

2

或y₁=-2

2

，m=-

2

，代入x=my+1得
∴x₁=5，y₁=2

2

，或x₁=5，y₁=-2

2

，
∴A点的坐标为（5，2

2

）或（5，-2

2

）
故答案为（5，2

2

）或（5，-2

2

）

点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用韦达定理，设而不求解决问题．