Question

如图，A₁A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A₁A=AB=2，
（Ⅰ）求证：BC⊥平面A₁AC；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABC的体积的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，
且AB是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC，
∵AA₁⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
∵AA₁∩AC=A，AA₁平面AA₁C，AC平面AA₁C，
∴BC⊥平面AA₁C。
（Ⅱ）解：设AC=x，
在Rt△ABC中，（0＜x＜2），
故（0＜x＜2），
即，
∵0＜x＜2，0＜x²＜4，
∴当x²=2，即时，
三棱锥A₁-ABC的体积的最大值为。