Question

【题目】已知椭圆（）的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于， 两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）当时，求直线的方程；

（3）记椭圆的右顶点为，点（）在椭圆上，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问： 轴上是否存在点，使得（为坐标原点）？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）点的坐标为或

【解析】试题分析：

(1)由题意求得则椭圆的方程为；

(2)很明显直线的斜率存在，利用弦长公式得到关于斜率k的方程，解方程可得的方程为．

(3) 假设轴上存在点，使得，原问题等价于满足，据此整理计算可得点的坐标为或．

试题解析：

解：（1）由已知，点在椭圆上，

因此解得

所以椭圆的方程为．　

（2）依题意，直线的斜率必存在，设的方程为， ， ，

则 ，

故， ，

∴ ，

整理得，即，

∴的方程为．

（3）假设轴上存在点，使得，

“存在点使得”等价于“存在点使得”

即满足，

因为，所以，

直线的方程为，

所以，即，

因为点与点关于轴对称，所以．

同理可得，

因为， ， ，

所以，

所以或，

故在轴上存在点，使得，点的坐标为或．