Question

3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m²的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（m²）．
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）求S的最大值，及此时长X的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，室内面积为900m²的矩形，长为x（m），则宽为：$\frac{900}{x}$，三块种植植物的矩形长度为x-8，则宽为$\frac{900}{x}-2$，植植物的矩形区域的总面积为S=长×宽，可得S关于x的函数关系式．
（2）利用基本不等式的性质求解S的最大值以及长度x的值．

解答 解：（1）由题意：室内面积为900m²的矩形，长为x（m），则宽为：$\frac{900}{x}$，
三块种植植物的矩形长度为x-8，则宽为$\frac{900}{x}-2$，
植物的矩形区域的总面积为S=$（x-8）×（\frac{900}{x}-2）$，（450＞x＞8）
（2）由（1）可得S=$（x-8）×（\frac{900}{x}-2）$，（450＞x＞8）
化简可得：S=916-（2x$+\frac{7200}{x}$），
∵2x$+\frac{7200}{x}$≥2$\sqrt{2x×\frac{7200}{x}}$=240，（当且仅当x=60时取等号）
∴S_max=916-240=676（m²）
此时长为x=60．
故得S的最大值676平方米，长度为60米．

点评 本题考查了实际生活中的函数的解析式求法和利用基本不等式的性质求解最大值的问题．属于基础题．