题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）若函数在x=1处的切线l与直线y=4x+3平行，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设函数 $数学公式$ ，若方程g（x）-m=0在区间[-2，2]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

解：（1）求导函数f′（x）=ax²+2x-1
∵函数在x=1处的切线l与直线y=4x+3平行，
∴f′（1）=a+1=4
∴a=3
（2）求导函数f′（x）=ax²+2x-1，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可
f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解，即 $\text{[math]}$ 在（2，+∞）上有解
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴实数a的取值范围是 $\text{[math]}$
（3）函数 $\text{[math]}$ ，若方程g（x）-m=0在区间[-2，2]上有两个不相等的实数根，只需要g（x）的图象y=m有两个不同的交点
当x≥1时，g（x）= $\text{[math]}$ ，g′（x）= $\text{[math]}$ ＞0，函数g（x）单调递增
当x＜1时，g（x）= $\text{[math]}$ ，g′（x）=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令g′（x）＞0，可得 $\text{[math]}$ ＜x $\text{[math]}$ ，令g′（x）＜0，可得x＜ $\text{[math]}$ ，或x $\text{[math]}$ ，
∴函数在 $\text{[math]}$ 上单调减，（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上单调增， $\text{[math]}$ 上单调减，（1，2）上单调增
∴当 $\text{[math]}$ 时，g（x）取得极小值 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，g（x）取得极大值 $\text{[math]}$ ．g（-2）= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，g（x）的图象y=m有两个不同的交点，方程g（x）-m=0在区间[-2，2]上有两个不相等的实数根
∴实数m的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义，结合函数在x=1处的切线l与直线y=4x+3平行，可实数a的值；
（2）求导函数f′（x）=ax²+2x-1，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可；
（3）函数 $\text{[math]}$ ，若方程g（x）-m=0在区间[-2，2]上有两个不相等的实数根，只需要g（x）的图象y=m有两个不同的交点．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查利用导数研究函数的图象，综合性强．