题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，椭圆的左焦点为
，椭圆上任意点到的最远距离是
，过直线
与
轴的交点
任作一条斜率不为零的直线
与椭圆交于不同的两点
、
，点关于轴的对称点为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：、、三点共线；
(3)求
面积
的最大值.
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程组，求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)设直线
的方程为
，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理证明
即可证得题中的结论.
(Ⅲ)由题意可得
的面积
，结合均值不等式的结论确定面积的最大值即可.
(Ⅰ)由题意可得：
，解得：
，
故椭圆的离心率为：.
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的椭圆方程可得：
，故
，
设直线的方程为，
联立直线方程与椭圆方程：
可得：
.
直线与椭圆相交，则：
，
解得：
或
.
设
，
，
则：
,
故：
将
代入上式可得：，
故
三点共线；
(Ⅲ)结合(Ⅱ)中的结论可得：
的面积
.
当且仅当
时等号成立，故的面积的最大值为.
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
【题目】某企业有
，
两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品．分别从，两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如图频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，分别求出分厂的质量指标值的众数和中位数的估计值；
（2）填写
列联表，并根据列联表判断是否有
的把握认为这两个分厂的产品质量有差异？
优质品 | 非优质品 | 合计 | |
| |||
| |||
合计 |
（3）（i）从分厂所抽取的100件产品中，利用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概率；
（ii）将频率视为概率，从分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为
，求的数学期望．
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
