题目内容
已知关于x的方程x2-（t-2）x+t2+3t+5=0有两个实根，
=
+t
，且
=（-1，1，3），
=（1，0，-2）．
（1）若|
|=f（t），求f（t）；
（2）问|
|是否能取得最大值？若能，求出实数t的值，并求出相应的向量
与
的夹角的余弦值；若不能，试说明理由．
| c |
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）若|
| c |
（2）问|
| c |
| b |
| c |
分析：（1）由题设知
=
+t
=（-1，1，3）+（t，0，-2t）=（-1+t，1，3-2t），再由|
|=f（t），能求出f（t）．
（2）由|
| =
，|
| =
，
•
=-7，知|
+t
|2=|
| 2t2+2(
•
)t+|
| 2
=5t2-14t+5=5（t-
）2-
．当t=
时，|
+t
|最小．再由关于x的方程x2-（t-2）x+t2+3t+5=0有两个实根，解得
≤t≤4．因为
∈[
，4]，|
|能取得最大值．由此能求出求出相应的向量
与
的夹角的余弦值．
| c |
| a |
| b |
| c |
（2）由|
| a |
| 11 |
| b |
| 5 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| a |
=5t2-14t+5=5（t-
| 7 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 7 |
| 5 |
| a |
| b |
| 4 |
| 3 |
| 7 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| c |
| b |
| c |
解答：解（1）∵
=（-1，1，3），
=（1，0，-2），
∴
=
+t
=（-1，1，3）+（t，0，-2t）
=（-1+t，1，3-2t），
∴f（t）=|
|=
=
．
（2）∵
=（-1，1，3），
=（1，0，-2）．
∴|
| =
，|
| =
，
•
=-7，
∴|
+t
|2=|
| 2t2+2(
•
)t+|
| 2
=5t2-14t+5
=5（t-
）2-
∴当t=
时，|
+t
|最小，
∵关于x的方程x2-（t-2）x+t2+3t+5=0有两个实根，
∴△=[-（t-2）]2-4（t2+3t+5）≥0，
解得
≤t≤4．
∵
∈[
，4]，
∴|
|能取得最大值．
当|
|取得最大时，
=
+t
=（-1，1，3）+（
，0，-
）=（
，1，
），
cos＜
，
＞=
=0．
| a |
| b |
∴
| c |
| a |
| b |
=（-1+t，1，3-2t），
∴f（t）=|
| c |
| (t-1)2+1+(3-2t)2 |
=
| 5t2-14t+11 |
（2）∵
| a |
| b |
∴|
| a |
| 11 |
| b |
| 5 |
| a |
| b |
∴|
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| a |
=5t2-14t+5
=5（t-
| 7 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
∴当t=
| 7 |
| 5 |
| a |
| b |
∵关于x的方程x2-（t-2）x+t2+3t+5=0有两个实根，
∴△=[-（t-2）]2-4（t2+3t+5）≥0，
解得
| 4 |
| 3 |
∵
| 7 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
∴|
| c |
当|
| c |
| c |
| a |
| b |
| 7 |
| 5 |
| 14 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
cos＜
| b |
| c |
| ||||||||
|
点评：本题考查平面向量的综合运用，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
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