Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，曲线是以坐标原点为顶点，直线为准线的抛物线.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）分别求出直线与曲线的极坐标方程：

（2）点是曲线上位于第一象限内的一个动点，点是直线上位于第二象限内的一个动点，且，请求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由抛物线的准线方程易得抛物线方程，再用，，可将直线与曲线的直角坐标系方程转化为极坐标系方程；（2）直接在极坐标系下设点A、B的坐标，然后计算其比值，求出最大值即可.

（1）因为，所以直线的极坐标系方程为，

又因为直线为抛物线的准线，所以抛物线开口朝右，且，即

所以曲线的平面直角坐标系方程为，

因为，

所以极坐标系方程为；

（2）设，则，则，.

记，则

则

因为，当且仅当时取等号

所以

所以取最大值为.