Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知lga-lgb=lgcosA-lgcosB，
（Ⅰ）若c=

3

b，求角A；
（Ⅱ）若cosC=

1

3

，求cosB的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得A、B∈（0，

π

2

），tanA=tanB，从而有A=B；又c=

3

b，由余弦定理可求角A；
（Ⅱ）由cosC=

1

3

，利用余弦定理可得c=

2

3

a，再利用正弦定理将该式转化为角的正弦，利用三角函数间的关系式即可求得cosB的值．

解答：解：∵lga-lgb=lgcosA-lgcosB，
∴lg

a

b

=lg

cosA

cosB

，A、B∈（0，

π

2

），
∴

a

b

=

cosA

cosB

，
∴acosB=bcosA，由正弦定理可得 sinAcosB=sinBcosA，sin（A-B）=0，
∵A、B∈（0，

π

2

），
∴A=B，即a=b，△ABC为等腰三角形．
又c=

3

b，由余弦定理得：c²=3b²=b²+a²-2abcos=2b²-2b²cosC，
∴cosC=-

1

2

，又C∈（0，π），
∴C=

2π

3

，又A=B，A+B+C=π，
∴A=

π

6

．
（Ⅱ）∵cosC=

1

3

，
∴sinC=

2 2

3

，
∴由余弦定理c²=b²+a²-2abcos=2a²-2a²×

1

3

=

4

3

a²，
∴c=

2

3

a，
∴sinC=

2

3

sinA，而sinC=

2 2

3

，
∴sinA=

6

3

，又A、B∈（0，

π

2

），A=B，
∴cosB=cosA=

3

3

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，得到tanA=tanB，是解题的关键，考查学生综合运用三角知识解决问题的能力，属于难题．