Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+n，数列{b_n}满足b_n=

1

anan+1

（n∈N^*），T_n是数列{b_n}的前n项和，则T₉等于

9

40

．

Answer 1

分析：由题意易得a_n=2n（n∈N），进而可得b_n=

1

anan+1

=

1

2n•(2n+2)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），由裂项相消法可得结果．

解答：解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+n，
∴n=1时，a₁=2；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，
∴a_n=2n（n∈N^*），
∴b_n=

1

anan+1

=

1

2n•(2n+2)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
T₉=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

9

-

1

10

）]
=

1

4

×（1-

1

10

）=

9

40

．
故答案为：

9

40

点评：本题考查等差数列的前n项和与通项公式的关系，涉及裂项相消法求数列的和，属基础题．