Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=AD=2，点E为AB中点，
(1)求三棱锥A₁-ADE的体积；
(2)求证：A₁D⊥平面ABC₁D₁；
(3)求证：BD₁∥平面A₁DE。

Answer 1

(1)解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 因为AB=1，E为AB的中点，所以，AE=， 又因为AD=2， 所以S△ADE=， 又AA1⊥底面ABCD，AA1=2， 所以三棱锥A1-ADE的体积V=S△ADE·AA1=。 (2)证明：因为AB⊥平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1， 所以AB⊥A1D， 因为ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D， 又AD1∩AB=A，AD1平面ABC1D1，AB平面ABC1D1， 所以A1D⊥平面ABC1D1。
(3)证明：设AD1，A1D的交点为O，连结OE， 因为ADD1A1为正方形， 所以O是AD1的中点， 在△AD1B中，OE为中位线， 所以OE∥BD1， 又OE平面A1DE，BD1平面A1DE， 所以BD1∥平面A1DE。