Question

如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED＝1，EF∥BD且EF＝BD．

(1)求证：BF∥平面ACE；

(2)求证：平面EAC⊥平面BDEF

(3)求几何体ABCDEF的体积．

 

 

Answer 1

(1)见解析；(2)见解析；(3)2

【解析】试题分析：(1)利用线线平行，推证线面平行；(2)利用一个面内一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直，证明面面垂直；(3)将不规则几何体转化为主题或椎体的体积求解．

试题解析：(1)证明：记AC与BD的交点为O，则DO＝BO＝BD，连接EO，

∵EF∥BD且EF＝BD，

∴EF∥BO且EF＝BO，则四边形EFBO是平行四边形，

∴BF∥EO，

又∵面ACE，面ACE，

∴BF∥平面ACE；

(2)证明：∵ED⊥平面ABCD，平面ABCD，∴ED⊥AC．

∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，

又ED∩BD＝D，∴AC⊥平面BDEF，

又平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；

(3)【解析】
∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，

又∵EF∥BD且EF＝BD，∴BDEF是直角梯形，

又∵ABCD是边长为2的正方形，BD＝2，EF＝，

∴题型BDEF的面积为，

由(1)知AC⊥平面BDEF，

∴几何体的体积VABCDEF＝2VA－BDEF＝2×SBDEF·AO＝．

考点：空间直线与平面位置关系，几何体的体积