Question

设A、B分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右顶点，双曲线的实轴长为4

3

，焦点到渐近线的距离为

3

．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y=

3

3

x-2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使

OM

+

ON

=t

OD

，求t的值及点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐进线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），D（x₀，y₀），则x₁+x₂=tx₀，y₁+y₂=ty₀，则x₁+x₂=tx₀，y₁+y₂=ty₀，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x₁+x₂，进而求得y₁+y₂，从而可得

x0

y0

，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得D点坐标，从而求得t值；

解答：解：（1）由实轴长为4

3

，得a=2

3

，
渐近线方程为y=

b

2 3

x，即bx-2

3

y=0，
∵焦点到渐近线的距离为

3

，
∴

|bc|

b2+12

=

3

，又c²=b²+a²，∴b²=3，
∴双曲线方程为：

x2

12

-

y2

3

=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），D（x₀，y₀），则x₁+x₂=tx₀，y₁+y₂=ty₀，
由

y= 3 3 x-2 x2 12 - y2 3 =1

⇒x2-16

3

x+84=0⇒x1+x2=16

3

，
∴y₁+y₂=

3

3

(x1+x2)-4=12，
∴

x0 y0 = 4 3 3 x02 12 - y02 3 =1

，解得

x0=4 3 y0=3

，∴t=4，
∴D(4

3

，3)，t=4．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．