Question

设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐进线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），D（x，y），则x₁+x₂=tx，y₁+y₂=ty，则x₁+x₂=tx，y₁+y₂=ty，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x₁+x₂，进而求得y₁+y₂，从而可得，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得D点坐标，从而求得t值；
解答：解：（1）由实轴长为，得，
渐近线方程为x，即bx-2y=0，
∵焦点到渐近线的距离为，
∴，又c²=b²+a²，∴b²=3，
∴双曲线方程为：；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），D（x，y），则x₁+x₂=tx，y₁+y₂=ty，
由，
∴y₁+y₂=-4=12，
∴，解得，∴t=4，
∴，t=4．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．