题目内容

已知向量
a
=(sin
A+B
2
，cos
A-B
2
-
3
2
4
)，
b
=(
5
4
sin
A+B
2
，cos
A-B
2
+
3
2
4
)，其中A、B是△ABC的内角，
a
⊥
b
．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求
c
a
的值．
分析：（1）根据
a
⊥
b
推断出
a
•
b
=0，利用向量的数量积运算结合二倍角公式求得tanA•tanB；
（2）由于tanA•tanB=
1
9
＞0，利用基本不等式得出当且仅当 tanA=tanB=
1
3
时，c取得最大值，再利用同角公式求出sinC，sinA，最后由正弦定理求
c
a
的值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得
a
•
b
= (sin
A+B
2
，cos
A-B
2
-
3
2
4
)•(
5
4
sin
A+B
2
，cos
A-B
2
+
3
2
4
)=0
即
5
4
sin 2
A+B
2
+cos 2
A-B
2
-
9
8
=0，
-5cos（A+B）+4cos（A-B）=0
cosAcosB=9sinAsinB
∴tanA•tanB=
1
9
．
（2）由于tanA•tanB=
1
9
＞0，且A、B是△ABC的内角，
∴tanA＞0，tanB＞0
∴tanC=-tan(A+B)=-
tanA+tanB
1-tanAtanB
=-
9
8
(tanA+tanB)≤-
9
8
×2
tanA•tanB
=-
3
4

当且仅当 tanA=tanB=
1
3
取等号．
∴c为最大边时，有tanA=tanB=
1
3
，tanC=-
3
4
，
∴sinC=
3
5
，sinA=
1
10

由正弦定理得：
c
a
=
sinC
sinA
=
3
5
1
10
=
3
10
5
．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简与求值，正弦定理的应用，基本不等式的知识，是一道综合题，考查学生分析问题解决问题的能力，公式的熟练程度决定学生的能力的高低．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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